Las dos grafías, arcoíris y arco iris, son correctas. Aun así, hoy resulta preferible la grafía arcoíris, que debe escribirse con tilde por contener una secuencia de vocal abierta átona seguida de una vocal cerrada tónica.
Según la RAE, aunque aún es mayoritaria su escritura en dos palabras arco iris (plural arcos iris), es cada vez más frecuente y resulta preferible la grafía unitaria arcoíris, pues el primer elemento de este tipo de compuestos suele hacerse átono, dando lugar a que las dos palabras se pronuncien como una sola.
¿Por qué lleva tilde arcoíris?
Se recuerda, además, que arcoíris se escribe con tilde en la í, pues los hiatos formados por una vocal abierta átona más una vocal cerrada tónica se acentúan siempre (incluso si se trata de palabras llanas), y que su plural es invariable, los arcoíris, mientras que el plural de arco iris es arcos iris.
Dato curioso
Según el portal web Emojipedia, el emoji del arcoíris se utiliza como prioridad para expresar el orgullo gay o a las personas que pertenecen a la comunidad LGBT (lesbianas, gays, bisexuales y transgénero). Asimismo, se usa comúnmente para transmitir diversos sentimientos como el amor o la felicidad.